वास्तविक संख्या – Bihar Board Class 10 Ncert Maths Solutions Chapter 1

Bihar Board Class 10 Ncert Maths Objective Solutions Chapter वास्तविक संख्या Ex 1.1 Ex 1.2 Ex 1.3 Ex 1.4

प्रश्न 1. दो क्रमिक सम संख्याओं का म ० स ० ( HCF ) होगा-

(a) 1      (b) 2      (c) 3      (d) 5

प्रश्न 2. दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्या हो सकती है ?

(a) 1      (b) 2      (c) 3      (d) अनंत

प्रश्न 3. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय नहीं है ?

(a) [latex]\sqrt{7}[/latex]      (b) [latex]\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}[/latex]     

(c) [latex]\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}[/latex]      (d) [latex]\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{48}}[/latex]

प्रश्न 4. दो या दो से अधिक अभाज्य संख्याओं का म.स. है

( a ) 1      ( b ) 2    ( c ) 3    ( d ) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 5.  [latex]\sqrt{2}[/latex] है एक –

(a) परिमेय संख्या                          (b) अपरिमेय संख्या

(c) प्राकृत संख्या                           (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 6. [latex]\pi[/latex] है एक –

(a) पूर्णांक संख्या                          (b) परिमेय संख्या

(c) अपरिमेय संख्या                       (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 7. 5 – [latex]\sqrt{5}[/latex] है

(a) अपरिमेय संख्या                       (b) परिमेय संख्या

(c) पूर्णांक संख्या                           (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 8. यदि दो संख्याओं का म.स. 25 और ल.स.  50 तो संख्याओं का गुणनफल होगा –

(a) 1250                                  (c) 1350

(b) 1150                                  (d) 1050

प्रश्न 9. ( 3 – [latex]\sqrt{3}[/latex] ) है –

(a) परिमेय संख्या                             (b) अपरिमेय संख्या

(c) एक पूर्णांक संख्या                         (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 10. [latex]\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{12}}[/latex] है –

(a) परिमेय संख्या                              (b) अपरिमेय संख्या

(c) अभाज्यसंख्या                            (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 11. निम्नलिखित में कौन अभाज्य संख्या है ?

(a) 8      (b) 9      (c) 13    (d) 15

प्रश्न 12. निम्नलिखित में [latex]\dfrac{\pi}{2}[/latex] क्या है ?

(a) परिमेय संख्या है                                  (b) अपरिमेय संख्या है

(c) परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ हैं    (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 13. [latex]3\sqrt{3}[/latex] है –

(a) एक परिमेय संख्या                        (b) एक अपरिमेय संख्या

(c) एक पूर्णांक संख्या                         (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 14. इनमें से कौन – सी संख्या अपरिमेय है ?

(a)  [latex]\sqrt{16}[/latex]     (b)  [latex]\sqrt{20}[/latex]      

(c) [latex]\sqrt{25}[/latex]       (d) [latex]\sqrt{26}[/latex]

प्रश्न 15. [latex]\dfrac{1}{\sqrt{5}}[/latex] है –

(a) परिमेय संख्या                       (b) अपरिमेय संख्य

(c) सम संख्या                            (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 16. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या है ?

(a) [latex]\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{36}}[/latex] (b) [latex]\sqrt{121}[/latex]

(c) [latex]\sqrt{215}[/latex] (d) [latex]\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}}[/latex]

प्रश्न 17. 625 के अभाज्य गुणनखंड मे 5 का अधिकतम घातांक क्या है?

(a) 2               (b) 5             (c) 3                           (d) 4

प्रश्न 18. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार सांत नहीं है ?

(a) [latex]\dfrac{3}{8}[/latex]        (b) [latex]\dfrac{6}{15}[/latex]    

(c) [latex]\dfrac{17}{512}[/latex]     (d) [latex]\dfrac{29}{343}[/latex]

प्रश्न 19. किसी धनात्मक पूर्णांक a तथा b के लिए (a, b) का म०स० x (a, b) का ल०स० निम्न मे से किसके बराबर है ?

(a) [latex]\dfrac{a}{b}[/latex]       (b)  [latex]\dfrac{b}{a}[/latex]      (c)  a*b        (d) a + b

प्रश्न 20. निम्नलिखित में कौन अपरिमेय संख्या नहीं है ?

(a) 2 +  [latex]\sqrt{3}[/latex]       (b) 5 + [latex]\sqrt{3}[/latex]  (c) [latex]\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}[/latex]     (d) [latex]\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}[/latex]

प्रश्न 21. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म दो धनात्मक पूर्णांकों के निम्न में किसे    परिकलित करने का तरीका है

(a) ल०स०                         (b) म०स०

(c) भागफल                        (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 22. 5.2333 ……. है –

(a)  एक पूर्णांक संख्या                        (b) एक परिमेय संख्या

(c) एक अपरिमेय संख्या                     (d) इनमें से कोई नहीं

प्रश्न 23. परिमेय संख्या  [latex]\dfrac{43}{2^{4}\ast 5^{3}}[/latex] का दशमलव प्रसार दशमलव के कितने स्थानों के बाद रूक जाएगा ?

(a) 2               (b) 3             (c) 4                           (d) 5

प्रश्न 24. भाज्य a और भाजक b के लिए a = b*q + r में r के लिए कौन – सा    सत्य है ?

(a) 0 ≤ r ≤ b (b) 0 < r ≤ b (c) 0 ≤ r < b (d) r > b

प्रश्न 25. संख्या [latex]0.\overline{32}[/latex] को [latex]\dfrac{p}{q}[/latex] के रूप में ( जहाँ p , q पूर्णांक है , q ≠ 0 ) q लिखा जा सकता है-

(a) [latex]\dfrac{8}{25}[/latex]       (b)  [latex]\dfrac{29}{90}[/latex]      (c)  [latex]\dfrac{32}{99}[/latex]        (d) [latex]\dfrac{32}{990}[/latex]

प्रश्न 26. [latex]\dfrac{17}{2^{2}\ast 3^{2}\ast 5^{4}}[/latex] का दशमलव प्रसार –

   ( a ) सांत है                               ( b ) असांत आवर्ती है

   ( c ) असांत अनावर्ती है               ( d ) इनमें से कोई नही

प्रश्न 27. वृताकार पथ पर तीन धावक एक ही स्थान से दौड़ना प्रारम्भ करते    हैं , तो एक चक्कर लगाने में क्रमशः 3 घंटे , 4 घंटे तथा 8 घंटे समय    लगता है । तीनों को प्रस्थान बिन्दु पर पुनः मिलने में लगा समय होगा

   (a) 6 घंटे       (b) 8 घंटे       (c) 16 घंटे     (d) 24 घंटे

प्रश्न 28. [latex]x^{2}-5x+4 = 0[/latex] तो x का मान क्या होगा –

( a ) पूर्णांक ( b ) भिन्न संख्या ( c ) अपरिमेय संख्या ( d ) वास्तविक नहीं

प्रश्न 29. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार सांत नही है ?

(a) [latex]\dfrac{14}{2^{0} \ast 5^{3}}[/latex]    (b) [latex]\dfrac{9}{2^{2} \ast 5^{3}}[/latex]    (c) [latex]\dfrac{8}{2^{4} \ast 5^{0}}[/latex]    (d) [latex]\dfrac{15}{2^{5} \ast 3^{2}}[/latex]

प्रश्न 30. निम्नलिखित में किसका दशमलव प्रसार सांत है ?

(a) [latex]\dfrac{15}{1600}[/latex] (b) [latex]\dfrac{19}{210}[/latex] (c) [latex]\dfrac{3}{88}[/latex] (d) [latex]\dfrac{8}{75}[/latex]

प्रश्न 31. 2 तथा 2.5  के बीच की अपरिमेय संख्या है –

(a) [latex]\sqrt{11}[/latex] (b) [latex]\sqrt{5}[/latex] (c) [latex]\sqrt{22.5}[/latex] (d) [latex]\sqrt{12.5}[/latex]

प्रश्न 32. सबसे छोटी पूर्ण-वर्ग संख्या जो 16, 20, तथा 24 प्रत्येक से भाज्य हो , वह है –

(a) 240                          (b) 1600                           (c) 2400                          (d) 3600

प्रश्न 33. निम्न में कौन-सा परिमेय संख्या है ?

(a) [latex]\pi[/latex] (b) [latex]\sqrt{7}[/latex] (c) [latex]\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}[/latex] (d) [latex]\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}[/latex]

प्रश्न 34. वृताकार पथ पर तीन धावक एक ही स्थान से दौड़ना प्रारम्भ करते हैं       , तो एक चक्कर लगाने में क्रमश : 2 घंटे , 4 घंटे तथा 6 घंटे । तीनों का   प्रस्थान बिन्दु पर पुनः मिलने में लगा समय होगा

(a) 6 घंटे   (b) 8 घंटे       (c) 16 घंटे     (d) 24 घंटे

प्रश्न 35. 6/15 का दशमलव प्रसार होगा –

( a ) सांत                    ( b ) असांत                 ( c ) आवर्ती                 ( d ) इनमें से कोई नहीं

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर निम्नलिखित का म० स० ज्ञात करें ।

( a ) 252 और 1540 ( b ) 867 और 255

हल : ( a ) मान लिया कि a = 1540 और b = 252

1540 = 252×6 + 28 ( r [latex]\neq[/latex] 0 )

252 = 28×9 + 0 ( r = 0 )

[latex]\therefore[/latex] 252 और 1540 का म ० स ० = 28 Ans .

( b ) मान लिया कि a = 867 और b = 255

867 = 255×3 + 102 ( 20 )

255 = 102×2 + 51 ( r [latex]\neq[/latex] 0 )

102 = 51×2 + 0 ( r = 0 )

[latex]\therefore[/latex] 867 और 255 का म ० स ० = 51 Ans .

प्रश्न 2. दिखाएँ कि एक घनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का है , जहाँ एक पूर्णाक है ।

हल : यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथा से a तथा b धनात्मक पूर्णाकों के लिए । जहाँ कि a कोई धनात्मक विषम पूर्णाक है

a = bq + r, 0[latex]\leq[/latex]r< b

b = 6 रखने पर

a = 6q + r, 0[latex]\leq[/latex]r< 6

यहाँ r का संभावित मान 0,1,2,3,4 और 5 है ।

जब

r = 0 तब a = 6q

r = 1 तब a = 6q + 1

r = 2 तब a = 6q + 2

r = 3 तब a = 6q + 3

r = 4 तब a = 6q + 4

r = 5 तब a = 6q + 5

लेकिन 6q , 6q + 2, 6q + 4 सम संख्याएँ हैं और a एक विषम संख्या है । अत : a का मान 6q , 6q + 2 और 6 q + 4 संभव नहीं है ।

अत : a = 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 ही संभव है , जहाँ q [latex]\geq[/latex] 0

प्रश्न 3. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्याक्त कीजिए ।

( a ) 3825 ( b ) 7429

हल : ( a ) 3825

[latex]\therefore 3825 = 3^{2} \ast 5^{2} \ast 17 [/latex]

( b ) 7429

[latex]\therefore 7429 = 17 \ast 19 \ast 23 [/latex]

प्रश्न 4. संख्याओं 510 और 92 के अभाज्य गुणनखण्ड विधि से H.C.F. तथा L.C.M. ज्ञात करें और सत्यापित करें की दो संख्याओं का गुणनफल L.C.M.X H.C.F. होता है ।

हल :

510 = 2 x 3 x 5 x 17 और

92 = 2 x 2 x 23

ल० स० ( 510, 92 ) = 2 x2x3x5x17x23 = 23460

म० स० ( 510, 92 ) = 2

अब , 23460×2 = 46920 और 510 x 92 = 469200

स्पष्टतः दोनों संख्याओं का गुणनफल = ल०स० x म० स०

प्रश्न 5. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके निम्नलिखित संख्याओं का मल्स ज्ञात करें ।

( a ) 135 और 225 ( b ) 4052 और 12576

हल : ( a ) मान लिया कि a = 225 और b = 135

225 = 135 x 1 + 90 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

135 = 90 x 1 + 45 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

90 = 45 x 2 + 0 ( r = 0 )

[latex]\therefore[/latex] 135 और 225 का म. स. = 45 ans.

( b ) मान लिया कि a = 12576 और b = 4052

12576 = 4052 x 3 + 420 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

4052 = 420 x 9 + 272 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

420 = 272 x 1 + 148 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

272 = 148 x 1 + 124 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

148 = 124 x 1 + 24 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

124 = 24 x 5 + 4 ( [latex]r \neq 0[/latex] )

24 = 4 x 6 + 0 ( r = 0 )

[latex]\therefore[/latex] 4052 और 12576 का म.स . = 4 ans

प्रश्न 6. सेना के किसी परेड में 616 सदस्यों वाली सेना की एक टुकड़ी को 32 सदस्यों वाली सेना की दूसरी टुकड़ी के पीछे मार्च करनी है । दोनों टुकड़ियों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करनी है । उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है जिनमें वे मार्च कर सकते हैं ?

हल : सेना की पहली टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 616

सेना की दूसरी टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 32

मान लिया कि a = 616 और b = 32 (a>b)

[latex]\therefore[/latex] यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से हम पाते हैं कि

616 = 32 x 19 + 8 ( r [latex]\neq[/latex] 0)

32 = 8 x 4 + 0 ( r = 0 )

[latex]\therefore[/latex] 616 और 32 का म०स० = 8

अत : स्तम्भों की अधिकतम संख्या = 8 जिनमें सेना की दोनों टुकड़ियाँ मार्च कर सकती है ।

प्रश्न 7. संख्याओं 510 और 192 के अभाज्य गुणनखण्ड विधि से म०स० ( H.C.F. ) तथा लक्स ( L.C.M. ) ज्ञात करें और सत्यापित करें कि दो संख्याओं का गुणनफल = L.C.M. X H.C.F. होता है ।

हल :

510 = 2 x 3 x 5 x 17

192 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 26 x 3

510, 192 का H.C.F. = 2 x 3 = 6

510, 192 का L.C.M. = 26 x 3 x 5 x 17 = 16320

[latex]\therefore[/latex] L.C.M.(510, 192) x H.C.F.(510, 192) = 16320 x 6

और 510 x 192 = 97920

स्पष्टतः दोनों संख्याओं का गुणनफल = H.C.F.(म० स०) x L.C.M.(ल० स०)

प्रश्न 8. अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा 9 , 12 तथा 27 का म और ल स० ज्ञात करें ।

हल : 9,12 तथा 27 के अभाज्य गुणनखण्ड है –

9 = 3 x 3 = [latex]3^{2}[/latex]

12 = 2x2x3 = [latex]2^{2}[/latex]x3

27 = 3 x 3 x 3 = [latex]3^{3}[/latex]

[latex]\therefore[/latex] 9,12 तथा 27 का ०स० = 3

और, 9 , 12 तथा 27 का स० = 2×3-24×27 = 108

प्रश्न 9. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 तथा 404 का म०स० तथा ल ० ज्ञात करें ।

हल : 96 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 25 x 3

404 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 101 = 22 x 101

[latex]\therefore[/latex] म०स० = 4 तथा ल०स० = 25 x 3 x 101 = 9696

प्रश्न 10. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 12 , 15 तथा 21 का म और ज्ञात करें ।

हल : 12 का अभाज्य गुणनखंड = 2 x 2 x 3 = 22 x 3

15 का अभाज्य गुणनखंड = 3 x 5

21 का अभाज्य गुणनखंड = 3 x 7

[latex]\therefore[/latex] म.स. = 3 , ल.स. = 22 x 3 x 5 x 7

= 4 x 3 x 5 x 7 = 420

प्रश्न 11. व्याख्या कीजिए कि 7 x 11 x 13 + 13 और 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं ?

हल : मान लिया a = 7 x 1 x 13 + 13

b = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5

तब = 13 ( 7 x 11 + 1 ) = 13 x 78

= 13 x 13 x 2 x 3

[latex]\therefore[/latex] a, अभाज्य गुणखंडों का गुणनफल है । अत : यह भाज्य संख्या है

पुनः b = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5

= 5 ( 7 x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 + 1 ) = 5 x 1009

[latex]\therefore[/latex] b , अभाज्य गुणखंडों का गुणनफल है । अत : यह एक भाज्य संख्या है

प्रश्न 11. HCF ( 306, 657 ) = 9 दिया गया है तो LCM ( 306, 657 ) ज्ञात करें।

हल : हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए , दोनों संख्याओं का गुणनफल = संख्याओं का LCM x HCF

[latex]\therefore[/latex] 306 x 657 = LCM ( 306 , 657 ) x HCF ( 306 , 657 )

या , 306 x 657 = LCM ( 306,657 ) x 9

[latex]\therefore LCM ( 306 , 657 ) = \dfrac{306 \ast 657}{9} [/latex]

[latex]\\ \Rightarrow 34 \ast 657 = 22338 [/latex]

प्रश्न 12. यदि HCF ( 510, 92 ) = 2 दिया है तो LCM ( 510, 92 ) ज्ञात करें ।

हल : हम जानते हैं कि दो धनात्मक पूर्णाकों के लिए , दोनों संख्याओं का गुणनफल = संख्याओं का LCM x HCF

[latex]\therefore LCM ( 510 , 92 ) = \dfrac{510 \ast 92}{HCF ( 510,92 )} = \dfrac{510 \ast 92}{2} [/latex]

[latex]\Rightarrow 510 \ast 46 = 23460 [/latex]

प्रश्न 13. यदि LCM ( 96 , 168 ) = 672 है , तो HCF ( 96 , 168 ) का मान ज्ञात करें ।

हल : दोनों संख्याओं का गुणनफल = संख्याओं का LCM x HCF

[latex] \therefore HCF ( 96, 168 ) = \dfrac{96 \ast 168}{672} = 24 [/latex]

प्रश्न 14. यदि LCM ( 72 , 126 ) = 504 है तो HCF ( 72 , 126 ) का मान ज्ञात करें ।

हल : दोनों संख्याओं का गुणनफल = संख्याओं का LCM x HCF

[latex]\therefore LCM ( 72 , 126 ) = \dfrac{72 \ast 126}{LCM ( 72, 126 )} = \dfrac{72 \ast 126}{504} = 18[/latex]

प्रश्न 15. यदि HCF ( x , 1428 ) = 84 तथा LCM ( x , 1428 ) = 244188 है तो का मान ज्ञात करें ।

हल : हम जानते हैं कि दो घनात्मक पूर्णांकों के लिए , दोनों संख्याओं का गुणनफल = संख्याओं का LCM x HCF

[latex]\therefore x \ast 1428 = 244188 \ast 84[/latex]

[latex]\\ \therefore x = \dfrac{244188 \ast 84}{1428} =171 \ast 84 = 14364[/latex]

प्रश्न 16. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृताकार पथ है । इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं , जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं । मान लीजिए , वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं । कितने समय बाद वे प्रारंभिक स्थान पर मिलेंगे।

HCF ( 72 , 126 ) = LCM ( 72 , 126 ) .. 2 18 3 9 2 12 6 3 1 3 3 3 1 18 % D2x3x3 और 12 = 2x2x3 .. 18 और 12 का LCM ( ल.स. ) 32x2x3x3 = 36 अत : सोनिया और रवि पुनः प्रारंभिक बिन्दु पर 36 मिनट बाद मिलेंगे ।

प्रश्न 17. [latex]0.\overline{6}[/latex] को परिमेय संख्या के सरल रूप में व्यक्त करें ।

हल : मान लिया कि x = [latex]0.\overline{6}[/latex] = 0.66666 …….(i)

दोनों तरफ 10 से गुणा करने पर ,

10x = 6.66666 ………..( ii )

( ii ) से ( i ) को घटाने पर,

9x = 6

[latex] \Rightarrow x = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} …. ( ii ) [/latex]

प्रश्न 18. बिना भाग दिए हुए बताएँ कि परिमेय संख्या [latex] \dfrac{2}{25}[/latex] प्रसार सांत है या असांत ?

हल : परिमेय संख्या [latex] \dfrac{2}{25}[/latex] में हर 25 है ।

25 = 5 x 5 = [latex]5^{2 }[/latex]

25 का अभाज्य गुणनखंड [latex]2^{n}[/latex], [latex]2^{m }[/latex] के रूप में है ।

अत : [latex] \dfrac{2}{25}[/latex] का दशमलव प्रसार सांत है ।

प्रश्न 19. बिना भाग दिए हुए बताएं कि निम्नलिखित परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है ।

11 256 ( b ) 210 4050 हल : ( a ) परिमेय संख्या 11 210 में हर 210 है । 2210 3 105 5 35 7 210 = 32x3x5x7 यहाँ हर में 2 और 5 के अतिरिक्त 3 तथा 7 गुणनखंड है । 11 अतः का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा । 210 ( b ) 2 5 5 3 4050 2025 405 81 27 3 9 3 3 3

4050 = 2x5x5x3x3x3x3 = 32x52x34 % 3D 256 40502×52334 यहाँ हर में 2 और 5 के अतिरिक्त एक गुणनखंड 3 है । 256 का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा । 4050 व

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 18. सिद्ध करें कि 2 एक अपरिमेय संख्या है

हल : मान लिया कि 2 एक परिमेय संख्या है , तब , जहाँ p और 4 पूर्णांक हैं , 40 , p और 4 में कोई q उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है । दोनों तरफ वर्ग करने पर – 2 = = 2q = p2 …. ( 1 ) = 2 , p को विभाजित करता है । = 2 , p को विभाजित करेगा । माना कि p = 2m जहाँ m कोई पूर्णांक है । ( 1 ) = 2q2 = 4m2 > q = 2m2 = 2,4 को विभाजित करता है । = 2 , १ को विभाजित करेगा । अतः यह निष्कर्ष निकलता है कि p तथा १ का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है । यहाँ p और P 9 के कोई उभयनिष्ठ नहीं है , के विरोधाभासी है । इस तरह हमारा मानना कि एक परिमेय संख्या है , असत्य है । अतः 2 एक अपरिमेय संख्या है ।

प्रश्न 19. सिद्ध करें कि एक अपरिमेय संख्या है ।

हल : मान लिया कि 5 एक परिमेय संख्या है , तब 5 = 9 p और 4 पूर्णांक हैं , q + 0.p और 9 में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है । जहाँ दोनों तरफ वर्ग करने पर 5 = = 5q = p = 5 , p को विभाजित करता है = 5 , p को विभाजित करेगा । माना कि p = 5m , जहाँ m कोई पूर्णांक है । ( 1 ) = 50 % = 25m | = q = 5m = 5,4 को विभाजित करता है = 5 , q को विभाजित करेगा

अत : यह निष्कर्ष निकलता है कि p तथा १ का उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है । यहाँ p और 4 के कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है , के विरोधाभासी है । इस तरह हमारा मानना कि 15 एक परिमेय संख्या है , असत्य है । अतः 5 एक अपरिमेय संख्या है ।

प्रश्न 20. सिद्ध करें कि [latex]7\sqrt{5}[/latex] अपरिमेय है ।

हल : मान लिया कि [latex]7\sqrt{5}[/latex] परिमेय संख्या है ।

तब [latex]7\sqrt{5} = \dfrac{p}{q}, q \neq 0 [/latex], p तथा q पूर्णाक है ।

[latex]\\ \Rightarrow \sqrt{5} = \dfrac{p}{7q} …….(i)[/latex]

[latex]\\ \because [/latex] p तथा q पूर्णांक है , अतः p और 7q भी पूर्णांक होगा ।

समीकरण ( i ) में [latex] \dfrac{p}{7q}[/latex] परिमेय संख्या है किन्तु [latex]\sqrt{5}[/latex] अपरिमेय जो संभव नहीं है । अतः हमारी मान्यता है कि [latex]7\sqrt{5}[/latex] परिमेय है , गलत है

[latex]\therefore[/latex] 715 अपरिमेय है ।

प्रश्न 21. सिद्ध करें कि [latex] 3 + 2\sqrt{5} [/latex] अपरिमेय है ।

हल : ( a ) मान लिया कि [latex] 3 + 2\sqrt{5} [/latex] एक परिमेय संख्या है ।

[latex] \\ तब 3 + 2\sqrt{5} = \dfrac{p}{q}, q \neq 0 [/latex], p , q पूर्णांक हैं । [/latex]

[latex]\\ \Rightarrow 2\sqrt{5} = \dfrac{p}{q} – 3 = \dfrac{p – 3q}{q}[/latex]

[latex]\\ \Rightarrow \sqrt{5} = \dfrac{p – 3q}{2q} ……( i )[/latex]

[latex]\\ \because [/latex] p और q पूर्णांक हैं अतः p – 3q और 2q भी पूर्णांक होंगे ।

[latex]\\ [/latex]समीकरण ( 1 ) में[latex] \dfrac{p – 3q}{2q} [/latex]एक परिमेय संख्या है किन्तु एक [latex]\sqrt{5} [/latex]अपरिमेय संख्या है । यह एक विरोधाभास है| अतः हमारी यह मान्यता कि [latex] 3 + 2\sqrt{5} [/latex]परिमेय है , गलत है ।

[latex]\\ \therefore 3 + 2\sqrt{5} [/latex] अपरिमेय है ।

प्रश्न 21. सिद्ध करें कि

( a ) [latex]6 + \sqrt{2} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है ।

( b ) [latex]5 + \sqrt{3} [/latex] एक अपरिमेय संख्या है ।

हल : ( a ) मान लिया कि [latex] 6 + \sqrt{2} [/latex] एक परिमेय संख्या है ।

[latex] \\ तब 6 + \sqrt{2} = \dfrac{p}{q}, q \neq 0 [/latex], p , q पूर्णांक हैं ।

[latex]\\ \Rightarrow \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} – 6 = \dfrac{p – 6q}{q} ……( i )[/latex]

[latex]\\ \because [/latex] p और q पूर्णांक हैं अतः p – 6q और q भी पूर्णांक होंगे ।

[latex]\\ [/latex]समीकरण ( 1 ) में[latex] \dfrac{p – 6q}{q} [/latex]एक परिमेय संख्या है किन्तु एक [latex]\sqrt{2} [/latex]अपरिमेय संख्या है । यह एक विरोधाभास है| अतः हमारी यह मान्यता कि [latex]6 + \sqrt{2} [/latex]परिमेय है , गलत है ।

[latex]\\ \therefore 6 + \sqrt{2}[/latex] अपरिमेय है ।

हल : ( b ) मान लिया कि [latex] 5 – \sqrt{3} [/latex] एक परिमेय संख्या है ।

[latex] \\ तब 5 – \sqrt{3} = \dfrac{p}{q}, q \neq 0 [/latex], p , q पूर्णांक हैं ।

[latex]\\ \Rightarrow \sqrt{3} = 5 – \dfrac{p}{q} = \dfrac{5q – p}{q} ……( i )[/latex]

[latex]\\ \because [/latex] p और q पूर्णांक हैं अतः 5q – p और q भी पूर्णांक होंगे ।

[latex]\\ [/latex]समीकरण ( 1 ) में [latex] \dfrac{5q – p}{q} [/latex] एक परिमेय संख्या है किन्तु एक [latex]\sqrt{3} [/latex] अपरिमेय संख्या है । यह एक विरोधाभास है| अतः हमारी यह मान्यता कि [latex]5 – \sqrt{3} [/latex] परिमेय है , गलत है ।

[latex]\\ \therefore 5 \sqrt{3}[/latex] अपरिमेय है ।

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